Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n，那么a_n=

2

n(n+1)

．

Answer 1

分析：由已知，结合递推公式可得，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1（n＞1），即

an

an-1

=

n-1

n+1

，利用迭代法可求an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

解答：解：∵S_n=n²a_n
当n＞1时，S_n-1=（n-1）²a_n-1
∴a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1
（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1
即

an

an-1

=

n-1

n+1

∴an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=1×

1

3

×

2

4

×

3

5

×…×

n-1

n+1

=

1×2

n(n+1)

=

2

n(n+1)

故答案为：

2

n(n+1)

点评：本题主要考查由数列的递推公式a_n=S_n-S_n-1求把和的递推转化为项的递推，及由

an

an-1

=

n-1

n+1

，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项．