Question

已知直线l：x=4与x轴相交于点M，P是平面上的动点，满足PM⊥PO（O是坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过直线l上一点D（D≠M）作曲线C的切线，切点为E，与x轴相交点为F，若

DE

=

1

2

DF

，求切线DE的方程．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由PM⊥PO得k_PM•k_PO =-1，整理可得动点P的轨迹C的方程为（x-2）²+y²=2²（x≠0且x≠4）．
（2）由切线的性质可得DE=DM，因为

DE

=

1

2

DF

，故有 DF=2DE=2DM，在△CEF中，求出CE=2 可得CF=4，F（-2，0），
由切线的倾斜角求得切线DE的斜率，点斜式求得切线DE的方程．

解答：解：（1）依题意，M（4，0），设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO得k_PM•k_PO =-1，
即 

y

x-4

•

y

x

=-1，整理得，动点P的轨迹C的方程为（x-2）²+y²=2²（x≠0且x≠4）．
（2）DE、DM都是圆（x-2）²+y²=2²的切线，所以，DE=DM，
因为

DE

=

1

2

DF

，所以DF=2DE=2DM，所以，∠DFM=

π

6

，
设C（2，0），在△CEF中，∠CEF=

π

2

，∠CFE=

π

6

，CE=2，所以，CF=4，F（-2，0），
切线DE的倾斜角α=

π

6

，或

5π

6

．  所以，切线DE的斜率k=

3

3

，或-

3

3

，
故切线DE的方程为y=±

3

3

(x+2)．

点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，用点斜式求直线的方程，其中，轨迹方程中x≠0且x≠4容易被忽视，是易错点．