Question

数列{a_n}的前n项和为s_n，S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1（n∈N^﹡）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1知，n=1时可求得a₁；当n≥2时，有a_n-1+S_n-1=-

1

2

（n-1）²-

3

2

（n-1）+1，两式相减可求得b_n=

1

2

b_n-1（n≥2），利用等比数列的定义可证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=(

1

2

)n，T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）因为S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1，
所以①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=-

1

2

，…（1分）
②当n≥2时，a_n-1+S_n-1=-

1

2

（n-1）²-

3

2

（n-1）+1，…（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，…（4分）
所以b_n=

1

2

b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=

1

2

，…（5分）
所以数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
所以b_n=(

1

2

)n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得nb_n=

n

2n

．
所以T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①，
2T_n=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

②，…（8分）
②-①得：T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…（10分）
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，突出考查错位相减法求和的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．