Question

 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N

    分别是PA、BC的中点．

(I)求证：MN∥平面PCD；

(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE上平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．

∵,.

∴四边形为平行四边形，……………3分

∴，又平面,……………………5分

∴MN∥平面PCD.

（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，

设PC上一点E坐标为，，

即，

则．………………7分

由,解得．

∴.………………9分

作AH⊥  PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，

∴AH⊥平面PBC,取为平面PBC的法向量．则，

∴设AE与平面PBC所成角为，,的夹角为，则

.………………12分