Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式将y=2cosx（sinx+cosx）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求得其对称中心坐标．（Ⅱ）利用x的范围，求出相位的范围，将式子Asin（wx+∅）中的wx+∅看成整体，结合正弦函数的图象求Asin（wx+∅）最大最小值．

解答：（本小题满分12分）
解：（I）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
因此，函数f（x）图象的对称中心为（

kπ

2

+

π

8

，-1），k∈Z．
（Ⅱ）因为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）在区间[

π

8

，

3π

8

]上为增函数，在区间[

3π

8

，

3π

4

]上为减函数，
又f（x）=-1，f（

3π

8

）=

2

-1，
f（

3π

4

）=

2

sin（

3π

2

-

π

4

）-1=-2
故函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值为

2

-1，最小值为-2．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数与余弦函数，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数的对称中心，求解函数的最值，属于中档题．