Question

已知函数y=loga(x2-3x+3)，当x∈[1，3]时有最大值1，则a=

3或

3

4

．

Answer 1

分析：由x²-3x+3＞0可得函数定义域：R．令tx²-3x+3，求出对称轴，由函数在x∈[1，3]时有最大值1，分0＜a＜1，a＞1两种情况讨论函数的单调性，结合最值求出a．

解答：解：由x²-3x+3＞0推出 定义域：R．
令t=x²-3x+3=（x-

3

2

）²+

3

4

，∴x=

3

2

是函数的对称轴方程，t在[1，

3

2

），（

3

2

，3]，都是上单调函数，
当0＜a＜1时，函数在[1，

3

2

）上单调递增，在（

3

2

，3]，上单调递减；
 x=

3

2

时函数取得最大值1，即1=loga

3

4

，∴a=

3

4

．
当a＞1时，函数在（

3

2

，3]，上单调递增，在[1，

3

2

）上单调递减．函数的最大值在x=1或x=3处取得，
x=1时，y=loga(12-3×1+3)=0，不满足题意；
x=3时，y=loga(32-3×3+3)=1，解得a=3，满足题意．
故a的值为：3或

3

4

．
故答案为：3或

3

4

．

点评：本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，注意对对数底数的讨论，解答本题时容易漏掉对对数真数的考虑是解题中最易出现的错误．