Question

已知函数f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

Answer 1

（1）x须满足

x≠0 1+x 1-x ＞0

，
由

1+x

1-x

＞0得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）．
（2） 因为函数f（x）的定义域关于原点对称，
且对定义域内的任意x，
有f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-(

1

x

-log2

1+x

1-x

)=-f(x)，
所以f（x）是奇函数．
研究f（x）在（0，1）内的单调性，
任取x₁、x₂∈（0，1），且设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

x1

-log2

1+x1

1-x1

-

1

x2

+log2

1+x2

1-x2

=(

1

x1

-

1

x2

)+[log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)]
由

1

x1

-

1

x2

＞0，log2(

2

1-x2

-1)-log2(

2

1-x1

-1)＞0，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）内单调递减，
由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（-1，0）内单调递减．