Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且an=

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(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．
（1）证明数列{a_n+3}为等比数列；
（2）数列{a_n}是否存在三项构成等差数列？若存在，求出一组；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把所给的等式整理，想要求的结论靠近，因此需要把s_n变为a_n，仿写一个等式，两式相减，得到只含a_n的等式，因为要证数列{a_n+3}为等比数列，所以凑成这个数列的相邻两项的比值形式．
（2）假设存在，写出三项，又知三项成等差数列，用等差中项验证，推出矛盾，得到结论不存在三项构成等差数列．

解答：解：（1）∵且an=

1

2

(3n+Sn)对一切正整数n恒成立，
即2a_n=3n+S_n…①对一切正整数n恒成立．
∴2a_n+1=3（n+1）+s_n+1…②
②-①得：2a_n+1-2a_n=3+s_n+1-s_n，
∴3a_n+1-2a_n=3
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
又a₁+3=6＞0，所以a₂+3=2（a₁+3）＞0，由此类推an+3＞0
所以

an+1+3

an+3

=2
所以数列{a_n+3}是以a₁+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：假设数列{a_n}中存在这样的三项满足其条件，且这三项分别为数列{a_n}的第x，y，z项．
由（1）知数列{a_n+3}是以a₁+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3×2ⁿ-3
又第x，y，z项构成等差数列，
∴2（3×2^y-3）=3×2^x-3+3×2^z-3
∴2^y+1=2^x+2^z
∴2^y+1-x=1+2^z-x
又x、y、z都是整数，
等式左边是偶数，右边是奇数，
∴这样的x、y、z是不存在的．
即数列{an}中不存在有三项，使它们可以构成等差数列．

点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对它的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．