Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设直线与轴，轴分别交于两点，点是圆上任一点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）4.

【解析】

（1）运用同角的平方关系可得圆的普通方程；运用两角和的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到所求直线的直角坐标方程；

（2）求得直线与，轴的交点，利用两点间距离公式求得；设点的坐标为，运用点到直线的距离公式，以及两角和的余弦公式，运用余弦函数的值域，即可得到所求面积的最小值．

解：（1）由消去参数，得，

所以圆的普通方程为.

由，得，

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可得直线与轴，轴的交点为，

则，

设点的坐标为，则点到直线的距离为

，

当时取最小值，

∴，

所以面积的最小值是.