题目内容

已知函数f(x)=2
x
+
4-x
，则函数f（x）的值域为
[2，2
5
]
[2，2
5
]
．
分析：先求函数的定义域，利用换元法将函数转换为三角函数，利用三角函数的性质求函数的值域．
解答：解：要使函数有意义，则
x≥0
4-x≥0
，即0≤x≤4，即函数的定义域为[0，4]．
设x=4sin2θ，0≤θ≤
π
2
，
试题原函数等价为y=2
4sin2θ
+
4-4sin2θ
=4sinθ+2cosθ=2
5
(
2
5
sinθ+
1
5
cosθ)=2
5
sin(θ+α)，
所以函数的最大值为2
5
．
当x=0时，函数有最小值y=
4
=2，
所以函数f（x）的值域为[2，2
5
]．
故答案为：[2，2
5
]．
点评：本题主要考查函数值域的求法，利用三角换元法是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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