Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，10a _n+1﹣9a_n﹣1=0， ．
（1）求证：数列{a_n﹣1}是等比数列；
（2）当n取何值时，b_n取最大值；
（3）若 对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵a₁₀a_n+1﹣9a_n﹣1=0，
∴ ．
∴ ，
∵a₁=2，
∴{a_n﹣1}是以a₁﹣1=1为首项，公比为 的等比数列．
（2）解：由（ 1），可知a_n﹣1= （n∈N*）． ∴ ， ．当n=7时， ，b₈=b₇；
当n＜7时， ，b_n+1＞b_n；
当n＞7时， ，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或n=8时，b_n取最大值，最大值为 ．
（3）解：由 ，得 ．（*）
依题意，（*）式对任意m∈N*恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．
②当t＜0时，由 ，可知t^m＜0（m∈N*），而当m是偶数时t^m＞0，因此t＜0不合题意．
③当t＞0时，由t^m＞0（m∈N*），
∴ ，∴ （m∈N*）．
设 （m∈N*）， ∵ = ，
∴h（1）＞h（2）＞…＞h（m﹣1）＞h（m）＞…．
∴h（m）的最大值为 ．
所以实数t的取值范围是 ．