Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，椭圆上一点M(

2 6

3

，

3

3

)满足

MF1

•

MF2

=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线L：y=kx+

2

与椭圆恒有不同交点A、B，且

OA

•

OB

＞1（O为坐标原点），求k的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得：c=

3

，a=2，b=1．从而写出椭圆方程即可；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得k的范围，从而解决问题．

解答：解：（1）由题意得：
c=

3

，a=2，
∴b=1．
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+ 2

，
消去y解得(

1

4

+k2)x2+2

2

kx+1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

OA

•

OB

=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+

2

k(x1+x2)+2=

6-4k2

1+4k2

＞1，
∴k∈(

10

4

，-

1

2

)∪(

1

2

，

10

4

)．

点评：本小题主要考查椭圆的应用、向量的数量积的应用、不等式的解法等基础知识，解答的关键在于学生的运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．