Question

已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；
（2）利用?、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出．
解答：解：（1）双曲线C的渐近线方程为，
∴b²=3a²，
∵点在双曲线上，∴，
联立得，解得，
∴双曲线C的方程为．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0
∴（*）
，
由，
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入上式可得，
∴，
化简得m²=6k²+6．
，
当k=0时，成立，且满足（*）
又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|²＞24，
∴|OP|²+|OQ|²的最小值是24．
点评：熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的方程、?、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式是解题的关键．