题目内容
2．已知x1、x2、…、x2015是正数，且x1x2…x2015=1，则（1+x1）（1+x2）…（1+x2015）的最小值是22015．分析 根据条件，可以利用基本不等式得到：$1+{x}_{1}≥2\sqrt{{x}_{1}}$，$1+{x}_{2}≥2\sqrt{{x}_{2}}$，…，$1+{x}_{2015}≥2\sqrt{{x}_{2015}}$，这些不等式的两边都是正数，从而相乘后不等号方向不变，再根据x1x2…x2015=1，上面的不等式相乘后便可得到$（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）…（1+{x}_{2015}）≥{2}^{2015}$，并且可以看出等号是能够取到的，这便得出了要求的最小值．
解答 解：x1，x2，…，x2015是正数；
∴$1+{x}_{1}≥2\sqrt{{x}_{1}}，{x}_{1}=1$时取“=”；
$1+{x}_{2}≥2\sqrt{{x}_{2}}，{x}_{2}=1$时取“=”；
…
1$+{x}_{2015}≥2\sqrt{{x}_{2015}}$，x2015=1时“=”；
又x1x2…x2015=1；
∴（1+x1）（1+x2）…（1+x2015）$≥{2}^{2015}•\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{2015}}={2}^{2015}$，当x1=x2=…=x2015=1时取“=”；
∴（1+x1）（1+x2）…（1+x2015）的最小值为22015．
故答案为22015．
点评 考查基本不等式在求最小值中的运用，注意应用基本不等式的条件，并判断等号是否取到，不等式的性质：同向正的不等式可以相乘，不等号方向不变．
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