题目内容

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， $数学公式$ =（2b- $数学公式$ c，cosC）， $数学公式$ =（ $数学公式$ a，cosA），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（1）求角A的大小；
（2）求2 $数学公式$ cos²B-sin2B- $数学公式$ 的取值区间．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 得（2b- $\text{[math]}$ c）cosA- $\text{[math]}$ acosC=0
由正弦定理的2sinBcosA- $\text{[math]}$ sinCcosA- $\text{[math]}$ sinAcosC=0
∴2sinBcosA- $\text{[math]}$ cos（A+C）=0
∴2sinBcosA- $\text{[math]}$ sinb=0
∵A，B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA= $\text{[math]}$
∴A= $\text{[math]}$
（2）∵2 $\text{[math]}$ cos²B-sin2B- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1+cos2B）-sin2B- $\text{[math]}$ =2cos（2B+ $\text{[math]}$ ）
又∵A= $\text{[math]}$
∴0＜B＜ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜2B+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴-2≤2cos（2B+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$
即所求的取值区间为[-2， $\text{[math]}$ ）
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 利用向量共线的坐标表示可得（2b- $\text{[math]}$ c）cosA- $\text{[math]}$ acosC=0而要求角A的大小需将边a，b，c转化为角的关系故需利用正弦定理将边转化为关于角的式子然后化简求值．
（2）要求2 $\text{[math]}$ cos²B-sin2B- $\text{[math]}$ 的取值区间需将式子化为Asin（wx+∅）+k的形式然后再根据角的范围利用正余弦函数的图象和性质求解故需利用降幂公式和辅助角公式来化简．
点评：本题主要考查了向量和三角函数的综合．解题的关键是第一问要利用向量共线的坐标表示和正弦定理将边转化为有关角的式子再求解而第二问关键是要利用降幂公式和辅助角公式将要求的式子化为Asin（wx+∅）+k．同时此题有关角的范围的利用也要引起注意（比如第一问中利用A，B∈（0，π）得到sinB≠0，第二问中利用A= $\text{[math]}$ 得到0＜B＜ $\text{[math]}$ ）！