Question

6．已知f（α）=$\frac{{cos（{3π+α}）cos（{\frac{3π}{2}+α}）sin（{-α}）}}{{tan（{-π-α}）sin（{3π-α}）cos（{-π-α}）}}$．
（1）化简f（α）；
（2）已知角α为锐角，$f（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）运用诱导公式及同角三角函数基本关系的运用即可化简得解．
（2）利用已知可得cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$且$α+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），根据同角三角函数基本关系的运用可求sin（$α+\frac{π}{6}$）的值，从而利用两角差的余弦函数公式即可求得f（α）=cosα=cos（$α+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{{cos（{3π+α}）cos（{\frac{3π}{2}+α}）sin（{-α}）}}{{tan（{-π-α}）sin（{3π-α}）cos（{-π-α}）}}$
=$\frac{（-cosα）sinα（-sinα）}{（-tanα）sinα（-cosα）}$
=cosα．
（2）∵角α为锐角，$f（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$，cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$
∴$α+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，
∴f（α）=cosα=cos（$α+\frac{π}{6}-\frac{π}{6}$）=cos（$α+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（$α+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．