Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，FA⊥平面ABCD，EF∥BC，FA=2，AD=3，∠ADE=45°，点G是FA的中点．
（1）求证：EG⊥平面CDE；
（2）求二面角B-CE-G的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质，及FA⊥平面ABCD，可得AF⊥CD，CD⊥AD，结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面ADEF，则CD⊥EG，由FA=2，AD=3，∠ADE=45°，可证得EG⊥DE，进而再由线面垂直的判定定理得到EG⊥平面CDE；
（2）以AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE与平面CEG的法向量，代入向量夹角公式即可得到答案．

解答：证明：（1）∵EF∥BC，AD∥BC，∴EF∥AD．
在四边形ADEF中，由FA=2，AD=3，∠ADE=45°，可证得EG⊥DE，
又由FA⊥平面ABCD，得AF⊥CD，
∵正方形ABCD中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADEF，
∵EG?平面ADEF，∴CD⊥EG，
∵CD∩DE=D，∴EG⊥平面CDE；…（6分）
（2）以AB、AD、AF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（3，0，0）、C（3，3，0）、E（0，1，2）、G（0，1，1）．

BC

=(0，3，0)、

EC

=(3，2，-2)、

GF

=(0，1，1)，
分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量

m

=(2，0，3)，

n

=(4，-3，3)，
向量

m

与

n

的夹角的余弦值为

8+9

442

=

442

26

∴二面角B-CE-G的余弦值为

442

26

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键，是证得CD⊥EG，EG⊥DE，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．