Question

如图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=

1

2

CD=1．点P在△BCD内部（包含边界）中运动，则

AP

•

BD

的取值范围是

[-

3

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，将

AP

•

BD

的取值范围的求解，转化为利用线性规划的方法解决即可．

解答：解：以点A为坐标原点，AB为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（

3

2

，

3

2

），D（-

1

2

，

3

2

），
设点P的坐标为（x，y），
则

AP

•

BD

=（x，y）（-

3

2

，

3

2

）=-

3

2

x+

3

2

y，
令z=-

3

2

x+

3

2

y，而直线BD的方程为：x+

3

y-

3

=0，
直线BC的方程为：

3

x-y-

3

=0，
当z=-

3

2

x+

3

2

y过点D时z取最大值

3

2

，过BC线段上任意一点时z取最小值-

3

2

，
∴

AP

•

BD

的取值范围是：[-

3

2

，

3

2

]．
故答案为：[-

3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查了取值范围的确定，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．