Question

设函数y=x³-3ax²-24a²x+b有正的极大值和负的极小值，其差为4，
（1）求实数a的值；
（2）求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数f'（x）=3x²-6ax-24a²，令f'（x）=0得x²-2ax-8a²=0，所以x₁=4a，x₂=-2a，利用极大值和极小值的差为4，可得|b-80a³-（b+28a³）|=4，从而可求求实数a的值；
（2）分类讨论：当a=

1

3

时，f（-2a）＞0，f（4a）＜0；当a=-

1

3

时，f（-2a）＜0，f（4a）＞0，从而可求b的取值范围．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-6ax-24a²
令f'（x）=0得x²-2ax-8a²=0
∴x₁=4a，x₂=-2a（2分）
∵f（4a）=b-80a³，f（-2a）=b+28a³，
∴|b-80a³-（b+28a³）|=4（4分）
∴a=±

1

3

（6分）
（2）当a=

1

3

时，

x	（-∞，-2a）	-2a	（-2a，4a）	4a	（4a，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+

得：f（-2a）＞0，f（4a）＜0，
∴

28a3+b＞0 -80a3+b＜0

（8分）
又a=

1

3

得：-

28

27

＜b＜

80

27

（9分）
同理当a=-

1

3

时，

x	（-∞，-4a）	4a	（4a，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+

得：f（-2a）＜0，f（4a）＞0，
∴

28a3+b＜0 -80a3+b＞0

又a=-

1

3

得，-

80

27

＜b＜

28

27

（12分）
∴当a=

1

3

得：-

28

27

＜b＜

80

27

；a=-

1

3

时，得-

80

27

＜b＜

28

27

（14分）（结论2分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确求导．