题目内容
（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2-（
sinx-cosx）2．
（Ⅰ）求f（
）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-
，
]上的最大值和最小值．
| 3 |
（Ⅰ）求f（
| π |
| 4 |
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+
），由此求得f（x）的周期．
（II）当x∈[-
，
]时，根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．
| π |
| 6 |
（II）当x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：解：（I）因为函数f（x）=2-（
sinx-cosx）2 =2-（3sin2x+cos2x-2
sinxcosx）
=2-（1+2sin2x-
sin2x）=1-2sin2x+
sin2x=cos2x+
sin2x=2sin（2x+
）．
所以，f（
）=2sin（2×
+
）=2sin
=
，
所以，f（x）的周期为 T=
=π．
（II）当x∈[-
，
]时，2x∈[-
，
]，2x+
∈[-
，
]，
所以，当2x+
=
，即当x=-
时，函数取得最小值 f（-
）=-1，
当2x+
=
，即当x=
时，函数取得最大值 f（
）=2．
| 3 |
| 3 |
=2-（1+2sin2x-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以，f（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
所以，f（x）的周期为 T=
| 2π |
| 2 |
（II）当x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
所以，当2x+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
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