Question

某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=40（米），塔所在的山高OB=290（米），OA=210（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=

1

3

．试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）．

Answer 1

分析：先建立直角坐标系，则依题意可知A，B，C的坐标，进而可得直线l的方程．设点P的坐标为（x，y）进而可求直线PC和PB的斜率，直线PC到直线PB的角的公式可得到tanBPC关于x的表达式tan∠BPC=

y-290 x - y-330 x

1+ (y-290)(y-330) x2

，再由均值不等式求tanBPC最大．进而得出此时点P的纵坐标，即可得到答案．

解答：解：如图建立直角坐标系，则A（210，0），B（0，290），C（0，330）
直线l的方程为y=

1

3

(x-210)即y=

1

3

x-70
设P（x，y）为直线l上一点．（y＞0）
则kPC=

y-330

x

kPB=

y-290

x

∴tan∠BPC=

kPB-kPC

1+kPB•kPC

=

y-290 x - y-330 x

1+ (y-290)(y-330) x2

…（4分）=

40x

x2+(y-290)(y-330)

=

40x

x2+( 1 3 x-360)( 1 3 x-400)

=

360x

10x2-3•760x+9•360•400

=

360

10x+ 9•360•400 x -3•760

…（8分）≤

360

2 10•9•360•400 -3•760

=

3

41

当且仅当10x=

9•360•400

x

即x=360时取等号…（10分）
此时y=

1

3

x-70=50∴当此人距水平地面50米时，观看塔的视角最大…（13分）

点评：本题主要考查解三角形的实际运用．有些问题需要建立直角坐标系，利用解析几何的方法来解决．