Question

已知函数f（x）=

3

sinx+cosx，x∈R
（1）若α是第一象限角，且cosα=

1

2

，求f（π-α）的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由α为第一象限角，及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，将x=π-α代入函数?（x）解析式，计算即可得到结果；
（2）函数?（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可得出?（x）的值域．

解答：解：（1）由α是第一象限角，且cosα=

1

2

，得sinα=

1-cos2α

=

3

2

，
∴?（π-α）=

3

sin（π-α）+cos（π-α）=

3

sinα-cosα=

3

×

3

2

-

1

2

=1；
（2）?（x）=

3

sinx+cosx=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=2sin（x+

π

6

），
由0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，
∴1≤2sin（x+

π

6

）≤2，即?（x）的值域为[1，2]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．