Question

（2009•长宁区二模）函数f(x)=log2(

ax-1

x2-x+2

+2)在x∈[1，3]上恒有意义，则实数a的取值范围是

(2-2

6

，+∞)

．

Answer 1

分析：由x2-x+2=(x-

1

2

)2+

7

4

＞0可原不等式可转化ax-1＞-2x²+2x-4即a＞

-2x2+2x-3

x

=-2x-

3

x

+2在x∈[1，3]上恒成立，构造函数g（x）=-(2x+

3

x

)+2，利用基本不等式可求函数g（x）的最大值，a＞g（x）_max即可

解答：解：由题意可得，

ax-1

x2-x+2

+2＞0在[1，3]恒成立
由于x2-x+2=(x-

1

2

)2+

7

4

＞0
ax-1＞-2x²+2x-4
1≤x≤3
a＞

-2x2+2x-3

x

=-2x-

3

x

+2在x∈[1，3]上恒成立
令g（x）=-(2x+

3

x

)+2≤-2

2x• 3 x

+2=2-2

6

g(x) max=2-2

6

由a＞

-2x2+2x-3

x

=-2x-

3

x

+2在x∈[1，3]上恒成立可得a＞2-2

6

故答案为：(2-2

6

，+∞)

点评：本题以对数函数的定义域的恒成立为切入点，主要考查了函数的 参数的范围，此类问题一般是转化为求解函数的最值，若a＞f（x）恒成立?a＞f（x）_max；a＜f（x）恒成立?a＜f（x）_min，还要注意基本不等式在最值求解中的应用．