Question

（2012•台州模拟）已知F（1，0），P是平面上一动点，P在直线l：x=-1上的射影为点N，且满足(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过F的直线与轨迹C交于A、B两点，试问在直线l上是否存在一点Q，使得△QAB为等边三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设曲线C上任意一点P（x，y），用坐标表示向量，利用(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0，即可求得点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理确定|AB|=x₁+x₂+2=4m²+4，AB的中点坐标，设直线l上存在一点Q（-1，t），使得△QAB为等边三角形，从而可得方程组，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设曲线C上任意一点P（x，y），
∵F（1，0），N（-1，y），∴

PN

=(-1-x，0)，

NF

=(2，-y)
∴

PN

+

1

2

NF

=（-x，-

1

2

y）
∵(

PN

+

1

2

NF

)•

NF

=0
∴-2x+

1

2

y2=0
∴y²=4x，即为所求的P点的轨迹C对应的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程为x=my+1，代入抛物线方程可得y²-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，∴x₁+x₂=

1

4

（y₁²+y₂²）=4m²+2
∴|AB|=x₁+x₂+2=4m²+4，AB的中点坐标为（2m²+1，2m）
设直线l上存在一点Q（-1，t），使得△QAB为等边三角形，
则

2m-t 2m2+2 × 1 m =-1 3 2 ×(4m2+4)= (2m2+2)2+(2m-t)2

∴

m= 2 t=8 2

或

m=- 2 t=-8 2

∴直线l上存在一点Q（-1，8

2

）或Q（-1，-8

2

），使得△QAB为等边三角形．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．