Question

已知等比数列的{a_n}前n项和An=(

1

3

)n-1(n∈N*)，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为1，且前n项和B_n满足

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）令n等于1代入等比数列的{a_n}前n项和中，即可求出首项a₁，然后利用a_n=A_n-A_n-1（n≥2）表示出a_n的通项公式，再结扎

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)，得出数列{

Bn

}是首项为

B1

=

b1

=1，公差为1的等差数列，因而可得出b_n的通项公式；
（2）由（1）可得 Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

，裂项求和即可求出满足Tn＞

1000

2009

的最小正整数n．

解答：解：（1）a1=

1

3

-1=-

2

3

，an=An-An-1=(

1

3

)n-(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n(n≥2)
因为a₁适合an=-2(

1

3

)n(n≥2)，
所以an=-2(

1

3

)n(n∈N*)…（2分）
因为

Bn

-

Bn-1

=1(n≥2，n∈N*)，
所以数列{

Bn

}是首项为

B1

=

b1

=1，公差为1的等差数列．
从而 

Bn

=1+(n-1)•1=n，B_n=n²（n∈N^*）…（4分）
所以b_n=B_n-B_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2），b₁=1也适合上式，故b_n=2n-1（n∈N^*）…（6分）
（2）由（1）得：Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（8分）
∴

n

2n+1

＞

1000

2009

，即9n＞1000，故最小正整数n=112…（10分）

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，考查数列递推式的求解及相关计算，考查数列求和，求解（2）的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧求和．