Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1•an=2n(n∈N*)，则S₂₀₁₂=（　　）

A．2²⁰¹²-1

B．3×2¹⁰⁰⁶-3

C．3×2¹⁰⁰⁶-1

D．3×2¹⁰⁰⁵-2

Answer 1

分析：由a1=1，an+1•an=2n(n∈N*)，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=2ⁿ，则n≥2时，a_na_n-1=2^n-1，两式相比，可得数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论．

解答：解：∵a1=1，an+1•an=2n(n∈N*)
∴令n=1，求得a₂=2
∵a_na_n+1=2ⁿ，
∴n≥2时，a_na_n-1=2^n-1，
∴

an+1

an-1

=2，
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项分别成等比数列；
∴S₂₀₁₂=

1-21006

1-2

+

2(1-21006)

1-2

=3×2¹⁰⁰⁶-3
故选B．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的求和，确定数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列是关键．