Question

（1）设x≥1，y≥1，证明；
（2）设1＜a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+ log_cb+log_ac。

Answer 1

解：（1）由于x≥1，y≥1，所以

xy（x+y）+1≤y+x+（xy）²
将上式中的右式减左式，得（y+x+（xy）²）-（xy（x+y）+1）
=（（x+y）²-1）-（xy（x+y）-（x+y））
=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）
=（xy-1）（xy-x-y+1）
=（xy-1）（x-1）（y-1）
既然x≥1，y≥1，所以（xy-1）（x-1）（y-1）≥0，从而所要证明的不等式成立。
（2）设log_ab=x，log_bc=y，由对数的换底公式得，

于是，所要证明的不等式即为

其中
故由（1）知所要证明的不等式成立。