Question

已知函数f(x)=

x

1+x2

．
（1）证明函数具有奇偶性；
（2）证明函数在[0，1]上是单调函数；
（3）求函数在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先看定义域是否关于原点对称，再利用对数的运算性质，看f（-x）与f（x）的关系，依据奇函数、偶函数的定义进行判断．
（2）要求是用定义，先在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，然后作差变形看符号．；
（3）由（1）（2）可知f（x）在[-1，1]上为增函数，从而求得f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）由题意，对任意设x∈R都有f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)，
故f（x）在R上为奇函数；（3分）
（2）任取x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，

∴x1-x2＜0，x1x2＜1，1+x12＞0，1+x22＞0， ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)

故在[0，1]上为增函数；（7分）
（3）由（1）（2）可知f（x）在[-1，1]上为增函数，
故f（x）在[-1，1]上的最大值为f(1)=

1

2

，最小值为f(-1)=-

1

2

．（10分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断、研究奇偶性等问题，要注意变形处理和函数单调性奇偶性定义的应用