Question

若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的

1

6

，经过A、B、C这三点的小圆周长为2

3

π，则球O的体积为

 

．

Answer 1

分析：由条件：“经过A、B、C这三点的小圆周长为2

3

π，”得出正三角形ABC的外接圆半径r=

3

，再结合球的性质知：三角形ABC的外接圆半径r、球的半径、球心与三角形ABC的外接圆的圆心的连线构成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出球半径R．

解答：解：因为正三角形ABC的外径r=

3

，故高AD=

3

2

3

，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+

27

4

，所以R=3．
则球O的体积为：36π
故答案为：36π．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．此类题的解法是：充分利用图形的特点构造三角形，根据球的性质结合解三角形解决问题．