题目内容
设x，y满足约束条件
，若目标函数z=
+
(a＞0，b＞0)的最大值为10，则5a+4b的最小值为（ ）
|
| x |
| a |
| y |
| b |
分析：画出可行域，将目标函数变形，数形结合求出目标函数的最大值，得到a，b的关系，两式相乘凑成利用基本不等式的条件，利用基本不等式求最值．
解答：
解：画出
的可行域
将z=
+
直线在y轴上的截距
∵a＞0，b＞0，则当截距越大，z也越大，结合图象可知将其平移至点A时纵截距最大，z最大
由
可得A（4，5）
将A（4，5）代入z=
+
得到z最大值
+
=10
∴5a+4b=
×(
+
)•（5a+4b）=
×（40+
+
）
≥
×（40+2•
）=8
当且仅当
=
，又
+
=10
即a=
，b=1时取等号
故选D．
解：画出
|
将z=
| x |
| a |
| y |
| b |
∵a＞0，b＞0，则当截距越大，z也越大，结合图象可知将其平移至点A时纵截距最大，z最大
由
|
将A（4，5）代入z=
| x |
| a |
| y |
| b |
| 4 |
| a |
| 5 |
| b |
∴5a+4b=
| 1 |
| 10 |
| 4 |
| a |
| 5 |
| b |
| 1 |
| 10 |
| 16b |
| a |
| 25a |
| b |
≥
| 1 |
| 10 |
|
当且仅当
| 16b |
| a |
| 25a |
| b |
| 4 |
| a |
| 5 |
| b |
即a=
| 4 |
| 5 |
故选D．
点评：本题考查线性规划问题、画出可行域、利用目标函数的几何意义、数形结合求最值、利用基本不等式求最值．
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