Question

如图所示，四棱锥的底面是边长为１的正方形，，，点是棱的中点。

（１）求证；

（２）求异面直线与所成的角的大小；

（３）求面与面所成二面角的大小。

                                                         （第18题图）

Answer 1

见解析

解析:

解法一：

（1）因为，所以SC在底面的射影是CD

又因为底面ABCD是正方形，所以，所以…………4分

（2）取AB的中点P，连结MP，DP

在中，由中位线得 MP//SB ，所以

是异面直线DM与SB所成的角或其补角，

因为 ，又，

所以，因此

所以异面直线DM与SB所成的角为…………9分

（3）因为，底面ABCD是正方形，

所以可以把四棱锥补成长方体，

面与面所成二面角就是面与面所成二面角

因为，，所以

又，所以为所求的二面角的平面角

在中，由勾股定理得，在，得

所以，即面与面所成二面角为。. …………14分

解法二：以点D为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

因为ABCD是边长为1的正方形，且，

所以，，则 ，，

，，

因为，，则

所以，即…………4分

（2）设所求的异面直线所成的角为，因为

所以

故异面直线DM与SB所成的角为…………9分

（3）设所求二面角的平面角为，由题意可以面ASD的一个法向量为，设面BSC的一个法向量为，则

所以

而与所成的角就是所求的二面角的平面角或其补角，所以

所以面与面所成二面角为。…………14分