Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC为直角，D，E分别为BC，AC的中点，AB=2PA．
（1）BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？请说明理由；
（2）对于（1）中的点F，求AF与平面PEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中点F，连接EF、PF，由三角形中位线定理，可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，可得AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2，利用线面垂直的性质结合勾股定理，得到△PEF的各边长，再用正余弦定理算出其面积S_△PEF=

3

4

．设A到平面PEF的距离为d，利用三棱锥的体积进行转换，即得d=

3

3

，最后根据线面所成角的性质，得到AF与平面PEF所成角θ满足sinθ=

d

AF

=

30

15

，从而得到答案．

解答：解：（1）取CD的中点F，连接EF、PF
∵△ACD中，E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，且EF=

1

2

AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中点F，使AD∥平面PEF．
（2）设PA=1，则AB=AC=2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，AD是BC边的中线
∴BC=

2

，且AD=BD=CD=

1

2

BC=

2

Rt△ADF中，DF=

1

2

CD=

2

2

，可得AF=

AD2+DF2

=

10

2

∵PA⊥平面ABC，AF⊆平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF=

AP2+AF2

=

14

2

同理可得Rt△PAE中，PE=

AP2+AE2

=

2

∴△PEF中，EF=

1

2

AD=

2

2

，可得cos∠EPF=

PE2+PF2-EF2

2PE•PF

=

5 7

14

由同角三角函数关系，得sin∠EPF=

1-cos2∠EPF

=

21

14

∴△EPF的面积S_△EPF=

1

2

PE•PFsin∠EPF=

1

2

×

2

×

14

2

×

21

14

=

3

4

∵△EAF的面积S_△EAF=

1

4

S_△ADC=

1

4

∴三棱锥P-AEF的体积V=

1

3

×S_△EAF×PA=

1

12

设A到平面PEF的距离为d，则V_A-PEF=

1

3

×S_△EPF×d=

1

12

即

3

4

d=

1

4

，可得d=

3

3

所以AF与平面PEF所成角θ满足sinθ=

d

AF

=

30

15

∴AF与平面PEF所成角的正弦值等于

30

15

点评：本题给出底面是等腰直角三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥，证明线面平行并求线面所成的角，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和直线与平面所成角等知识，属于中档题．