题目内容

在△ABC中，
AB
•
AC
=|
BC
|=2．
（1）求
AB
2+
AC
2的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
分析：（1）求的是两个向量的平方和，由已知条件结合三角形法则得到|
BC
|=|
AC
-
AB
|=2，∴
AC
2-2
AC
•
AB
+
AB
2=4，与
AB
•
AC
=2联立即得两向量的平方和．
（2）由（1）的结论知道了相邻两边的平方和，结合三角形的面积公式知需求出两边的夹角，综合已知条件，用余弦定理求角的三角函数值，本题在求最值时因出现了两边的平方和为定值，属于和定积最大的问题．
解答：解：（1）∵|
BC
|=|
AC
-
AB
|=2，∴
AC
2-2
AC
•
AB
+
AB
2=4，（3分）
又∵
AB
•
AC
=2，∴
AB
2+
AC
2=8；（5分）
（2）设|
AB
|=c，|
AC
|=b，|
BC
|=a，由（1）知b2+c2=8，a=2，
又∵cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
8-2
2bc
=
2
bc
，（9分）
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bc
1-cos2A
=
1
2
b2c2-b2c2•
4
b2c2
≤
1
2
(
b2+c2
2
)2-4
=
3
，（13分）
当且仅当a=b=c时取“=”，所以△ABC的面积最大值为
3
．（14分）
点评：考查向量的加减运算，余弦定理以及三角形的面积公式，涉及到的知识点较多，变形时技巧性较强．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（　　）
在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圆的面积．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．
在△ABC中，AB=a，AC=b，当
a
•
b
＜0时，△ABC为
钝角三角形
钝角三角形
．
在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，则△ABC的面积为
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圆的面积为
7π
3
7π
3
．
在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M为AB的中点，
BN
=
1
3
BC
，则
 
．

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