Question

已知O为△ABC的外接圆圆心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若向

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

，则λ₂-λ₁=

1

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ₁，λ₂的值．

解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线m：x=1，又在AC的中垂线l上，
AC的中点（-

1

4

，-

3

4

），AC的斜率为tan120°=-

3

，
∴中垂线l的方程为 y=

3

3

（x+

1

4

）+

3

4

．
把直线 m和l 的方程联立方程组

x=1 y= 3 3 (x+ 1 4 )+ 3 4

，
解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由条件

AO

=λ1

AB

+λ2

AC

得（1，

2 3

3

）=λ₁（2，0）+λ₂（-

1

2

，

3

2

）
即

1=2λ1- 1 2 λ2 2 3 3 = 3 2 λ2

，
∴，解得λ₁=

5

6

，λ₂=

4

3

，
∴λ₂-λ₁=

1

2

故答案为：

1

2

．

点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．