Question

【题目】如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，

（1）求证：CF∥平面A1DE；

（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．

（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．

证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），

则，

设平面A1DE的法向量是

则，取，

∴

所以CF∥平面A1DE．

解：（2）是面A1DA的法向量，

∴

即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．