Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足．数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求a₁，d和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）在中，令n=1，n=2，得，解得a_n=2n-1，由足=，能求出a₁，d和T_n．
（II）当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．由此解得λ＜25；当n为奇数时，要使不等式恒成立，需不等式恒成立，解得λ＜-21．由此能够求出λ的取值范围．
解答：解：（I）在中，令n=1，n=2，
得，即，
解得a₁=1，d=2，（3分）

（II）（1）当n为偶数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
∵，等号在n=2时取得．
∴此时λ需满足λ＜25．（8分）
（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
∵是随n的增大而增大，
∴取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．（10分）
综合（1）（2）可得λ＜-21
∴λ的取值范围是{λ|λ＜-21}．（12分）
点评：本题考查等差数列的首项、公差的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列与不等式的综合运用．解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、等价转化法的合理运用．