Question

（本小题满分13分）

已知椭圆：上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解： (Ⅰ)设椭圆的焦距为，则由题设可知，解此方程组得

，.    所以椭圆C的方程是.      ………5分

(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，

将它代入椭圆方程，并整理，得．

设点A、B的坐标分别为，则     

因为及

所以

                         ……9分

当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，

所以解得

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.                       ……11分

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.        ……13分

解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是         

若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是            ……7分

由解得.

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）.                          ……8分

事实上点T（0，1）就是所求的点.     证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，

过点T（0，1）；    当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得

设点A、B的坐标为，则              ……10分

因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.           ……13分