Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，

OA

•

AF

=0且

OA

•

OF

=

1

2

(

OF

)2，则该椭圆的离心率是（　　）

• A．

  10 - 2

  2

• B．

  10 + 2

  2

• C．3-

  5

• D．3+

  5

Answer 1

分析：通过向量的数量积判断三角形是等腰直角三角形，求出A的坐标，代入椭圆方程然后求出椭圆的离心率．

解答：解：因为已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，
因为

OA

•

OF

=

1

2

(

OF

)2，所以

OA

•

OF

=|

OA

|•|

OF

|cos∠AOF=

1

2

|

OF

|2，又

OA

•

AF

=0，
所以cos∠AOF=

| OA |

| OF |

，所以cos∠AOF=

2

2

，所以三角形AOF是等腰直角三角形，
A（-

1

2

c，

1

2

c），代入椭圆方程可得：

c2

a2

+

c2

b2

=4，又b²=a²-c²，
可得：e⁴-6e²+4=0
解得e=

10 - 2

2

．
故选A．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．