题目内容
(12分) 已知椭圆C：
，其相应于焦点
的准线方程为
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点
倾斜角为
的直线分别交椭圆C于A、B两点，求证：
；（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E，求
的最小值。
，其相应于焦点的准线方程为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线分别交椭圆C于A、B两点，求证：；（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E，求的最小值。(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析 （Ⅲ）
(Ⅱ)见解析 （Ⅲ）（Ⅰ）由题意得：
，∴
，∴椭圆C的方程为。
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是椭圆C的左焦点，离心率
，设
是椭圆的左准线，则：
作
于
，
于
，
于
轴交于点H（如图），
∵点A在椭圆上，∴
=
=
∴
，同理
∴
。
方法二：当
时，记
。则AB：
将其代入方程
得
设
，则
是此二次方程的两个根。∴
，
①∵，代入①式得
。②
当
时，
仍满足②式。∴。
（Ⅲ）设直线AB倾斜角为，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得
，
，
当
或
时，
取得最小值。
，∴，∴椭圆C的方程为。（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，
是椭圆C的左焦点，离心率，设是椭圆的左准线，则：作于，于，于轴交于点H（如图），∵点A在椭圆上，∴
=
=∴
，同理∴
。方法二：当
时，记。则AB：将其代入方程
得设
，则是此二次方程的两个根。∴， ①∵，代入①式得。② 当
时，仍满足②式。∴。（Ⅲ）设直线AB倾斜角为
，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得，，当
或时，取得最小值。
练习册系列答案
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过点
，且与定圆
内切，动圆圆心
，点
的坐标为
．
为曲线
；
时，在（2）的条件下，设
是坐标原点，
是曲线
的点，记△
的面积为
，以
．若正数
满足
，问
是椭圆
的两个焦点，
为坐标原点，点
在椭圆上，且
，⊙
为直径的圆，直线
：
与⊙
，且满足
时，求弦长
的取值范围.
中，已知椭圆
：
的离心率
，左、右两个焦点分别为
、
。过右焦点
轴垂直的直线与椭圆
、
两点，且
．
，下顶点为
，动点
满足
，试求点
轴上的椭圆经过点M（1，
），斜率为
的直线经过椭圆的下顶点D和右焦点F，A、B为椭圆上不同于M的两点。
经过点
，离心率
。
的方程；
与椭圆
两点，点
关于
轴的对称点为
与
不重合)，则直线
与
（
）的离心率为
，且短轴长为2．
与椭圆交于
两点，
为坐标原点，且
，
，求直线
的左、右准线分别为l1、l2，且分别交x轴于C、D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若
，且
，则椭圆的离心率等于_____________．