Question

已知f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：（1+

1

24

）•（1+

1

34

）•…•（1+

1

n4

）＜e（n∈N^*，n≥2，其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=-

ax

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

当a=0时，f′（x）=

2x

1+x2

＞0?x＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∝，0）单调递减．
当a＜0且ax²+2x+a=0的判别式△≤0，
即a≤0时，f′（x）≤0对x∈R恒成立．
∴f（x）在R上单调递减．
当-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得：ax²+2x+a＞0
解得：

1+ 1-a2

a

＜x＜

1- 1-a2

a

由f′（x）＜0可得：x＞

1- 1-a2

a

或x＜

1+ 1-a2

a

∴f（x）在[

1+ 1-a2

a

，

1- 1-a2

a

]上单调递增，
在（-∝，

1+ 1-a2

a

]，[

1- 1-a2

a

，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
当x＞0时f（x）＜f（0）
∴ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x
∴ln[（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）]
=ln（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n

＜1
∴（1+

1

24

）•（1+

1

34

）…（1+

1

n4

）＜e．