Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），则a₂₀₀₉的值为（　　）

• A、4016
• B、4017
• C、4018
• D、4019

Answer 1

分析：因为是选择题，可用特殊函数来研究，根据条件，底数小于1的指数函数符合题意，可令f（x）=(

1

2

)x，从而很容易地求得则a₁=f（0）=1，再由f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差数列的定义求得结果．

解答：解：根据题意，不妨设f（x）=(

1

2

)x
则a₁=f（0）=1，
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₀₉=4017
故选B

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，同时，对于客观题不妨灵活处理，进而来提高效率，拓展思路，提高能力