Question

（2013•海淀区二模）设变量x，y满足约束条件

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

其中k∈R，k＞0
（I）当k=1时，

y

x2

的最大值为

1

；
（II）若

y

x2

的最大值为1，则实数k的取值范围是

（0，1]

．

Answer 1

分析：（I）当k=1时，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部．设P（x，y）为区域内一点，运动点P并观察直线OP斜率的变化，可得当P与线段AB上某点重合时，k_OP=1达到最大值，进一步观察得到点P与点A重合时，

y

x2

有最大值为1；
（II）如图所示，题中不等式组表示的平面区域为图中直线AB上方、直线BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的区域．由此将直线y-1=k（x-1）绕A（1，1）旋转，观察斜率的变化并计算

y

x2

的值，可得实数k的取值范围．

解答：解：（I）当k=1时，作出不等式组

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

，
即

y-1≥0 x+y-4≤0 y≤x

表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）
设P（x，y）为区域内一个动点，可得k_OP=

y

x

表示P、O两点连线的斜率
运动点P，可得当P与线段AB上某点重合时，k_OP=1达到最大值；
当P与B重合时，k_OP=

1

3

达到最小值
∵

y

x2

=k_OP•

1

x

，当点P与点A重合时，x达最小值1得

1

x

有最大值1，
且k_OP达到最大值
∴点P与点A重合时，

y

x2

有最大值为1；
（II）根据题意，直线y-1=k（x-1）经过定点A（1，1）
不等式组

y-1≥0 x+y-4≤0 y-1≤k(x-1)

表示的平面区域为直线AB上方、直线BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的区域
∵

y

x2

的最大值为1，即当点P与点A重合时

y

x2

有最大值
∴直线y-1=k（x-1）绕A点顺时针旋转，且满足斜率大于0时，符合题意
因此斜率的范围为（0，1]，即实数k的取值范围是（0，1]．
故答案为：1，（0，1]

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最值和参数的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于中档题．