Question

定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：（1）f（x+3）=-

1

f(x)

；（2）对任意3≤x₁＜x₂≤6，都有f（x₁）＜f（x₂）；（3）y=f（x+3）的图象关于y轴对称．则下列结论中正确的是（　　）

• A、f（3）＜f（7）＜f（4.5）
• B、f（3）＜f（4.5）＜f（7）
• C、f（7）＜f（4.5）＜f（3）
• D、f（7）＜f（3）＜f（4.5）

Answer 1

分析：先由f（x+3）=-

1

f(x)

，得函数周期为6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称，进而得到f（1）=f（5）；最后利用条件（2）得出结论．

解答：解：因为f（x+3）=-

1

f(x)

，
所以f（x+6）=-

1

f(x+3)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x）；
即函数周期为6，故f（7）=f（1）．
又因为y=f（x+3）的图象关于y轴对称，
所以y=f（x）的图象关于x=3轴对称．
所以f（1）=f（5）．
又对任意3≤x₁＜x₂≤6，都有f（x₁）＜f（x₂）；
所以f（3）＜f（4.5）＜f（5）=f（1）=f（7）．
故选B．

点评：本题主要考查函数奇偶性，周期性与单调性的综合问题．解决本题的关键有两处：①由f（x+3）=-

1

f(x)

，得函数周期为6；②由y=f（x+3）的图象关于y轴对称得到y=f（x）的图象关于x=3轴对称．