Question

定义已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．
（1）判断函数f（x）=x²-2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；
（2）若f（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意先对于函数f（x）=x²-2x+2在定义域[1，2]上求其最小值，然后利用定义即可判断；
（2）有函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质的定义，针对a的范围进行分类讨论即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2x+2，x∈[1，2]∴f（x）_min=1≤1
∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质；
（2）f（x）=x²-ax+2x∈[a，a+1]其对称轴为x=

a

2

，
①当

a

2

≤a即a≥0时，f（x）_min=f（a）=a²-a²+2=2，
若函数f（x）具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2，
②当a＜

a

2

＜a+1时，即-2＜a＜0时，f(x)min=f(

a

2

)=-

a2

4

+2，
若函数f（x）具有“DK”性质，则有-

a2

4

+2≤a总成立，解得：a∈∅，
③当

a

2

≥a+1时，即a≤-2时，f（x）_min=f（a+1）=a+3，
若函数f（x）具有“DK”性质，则有a+3≤a，解得：a∈∅．
综上所述：若函数f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性质，则有a≥2．

点评：此题考查了学生对于新定义的准确理解及应用，二次函数在定义域下求最值，分类讨论的思想及一元二次不等式的求解．