Question

函数y=cos²x•sinx，x∈(  0，

π

2

]的最大值是

2

9

3

．

Answer 1

分析：由条件求得 0＜sinx≤1，令t=sinx∈（0，1]，则 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．令f′（t）=0，
解得 t=

3

3

，再根据导数的符号判断当t=

3

3

时，函数 f（t）取得最大值为 f（

3

3

），运算求得结果．

解答：解：∵函数y=cos²x•sinx=（1-sin²x）sinx=sinx-sin³x，x∈(  0，

π

2

]，
∴0＜sinx≤1．
令t=sinx∈（0，1]，则 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．
令f′（t）=0，解得 t=

3

3

．
在（0，

3

3

）上，f′（t）＞0，故函数f（t）为增函数；
在（

3

3

，1]上，f′（t）＜0，故函数f（t）为减函数，
故当t=

3

3

时，函数 f（t）取得最大值为 f（

3

3

）=

3

9

3

-

1

9

3

=

2

9

3

，
故答案为

2

9

3

．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于中档题．