题目内容

设函数 $数学公式$ ，
（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值： $数学公式$ … $数学公式$ ．

解：（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵x₁＜x₂，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数 …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1 …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2011，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）直接利用用定义，通过f（x₁）-f（x₂）化简表达式，比较出大小即可证明函数f（x）是R上的单调性；
（2）化简f（t）+f（1-t），证明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末两项的和为1，利用倒序相加法，求出 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数的单调性的证明，函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．