Question

在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成角为

π

3

，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（　　）

• A、5
• B、

  3

  2

• C、10
• D、

  5

  2

Answer 1

分析：由题意通过侧面与底面所成角为

π

3

，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与正四棱锥底面边长的关系；利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线，结合勾股定理求出，外接球的半径与底面边长的关系，即可得到比值．

解答：解：由于侧面与底面所成角为

π

3

，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a，则斜高也为a，进而可得侧棱长为

5 a

2

，高为

3 a

2

四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为

3 a

6

，
其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为R，球心为O，顶点为P，底面中心为O₁，底面一个顶点为B，则OB=OP，

于是就有：（

3 a

2

-R）²+（

2 a

2

）²=R²
解得R=

5 3 a

12

．
所以两者的比为：

5

2

．
故选D

点评：本题是中档题，考查学生的空间想象能力，计算能力推理能力．求出球的半径与正三棱柱的底面边长的关系，是本题的关键．