Question

已知函数f(x)=log2

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．

Answer 1

分析：（I）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式即可得到函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）由（I）中结论，可以得到函数的定义域关于原点对称，进而判断f（x）与f（-x）的关系，即可得到函数的奇偶性；
（III）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，构造两个函数值的差，根据对数的运算性质，判断差的符号，结合函数单调性的定义，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由

1+x

1-x

＞0，可得

1+x＞0 1-x＞0

或

1+x＜0 1-x＜0.

可得-1＜x＜1．
即函数f（x）的定义域为（-1，1）．              …（4分）
（Ⅱ）由f(-x)=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以函数f（x）为奇函数．                   …（8分）
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

，
由x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
可知0＜1+x₁-x₂+x₁x₂＜1-x₁+x₂+x₁x₂，
所以

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜1，
可得log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（-1，1）为增函数．                …（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性的判断，对数函数的定义域，其中熟练掌握函数单调性，奇偶性的定义，即可得到答案．