Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-

1

3

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

化简得x²+3y²=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x²+3y²=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀）
则

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

所以

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x0=

5

3

因为x₀²+3y₀²=4，所以y0=±

33

9

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(

5

3

，±

33

9

)．

点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．