题目内容

判断函数f（x）=
1x2-1
在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
分析：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）变形后易判＞0，由单调性的定义可得．
解答：解：函数f（x）=
1
x2-1
在区间（1，+∞）上的单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）
=
1
x12-1
-
1
x22-1
=
x22-x12
(x12-1)(x22-1)
=
(x2-x1)(x2+x1)
(x12-1)(x22-1)
，
∵x1＜x2，∴x2-x1＞0，
又∵x1，x2∈（1，+∞），
∴x2+x1＞0，x12-1＞0，x22-1＞0，
∴
(x2-x1)(x2+x1)
(x12-1)(x22-1)
＞0，即f（x1）＞f（x2）
由单调性的定义可知函数在区间（1，+∞）上的单调递减．
点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．
对于定义在D上的函数f（x），如果存在常数M和N，使得对于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界，N称为函数f（x）的一个上界．
（1）判断函数f（x）=log2x-x2在（0，+∞）上是否为有界函数，不必说明理由；
（2）判断函数f（x）=1+（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由
（3）若函数f（x）=1+a（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是有界函数，且3是f（x）的一个上界，-3是f（x）的一个下界，求实数a的取值范围．
若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1；②当x＜0时，f（x）＞-1．
（1）试判断函数f（x）+1的奇偶性；
（2）试判断函数f（x）的单调性；
（3）若不等式f(a2+a-5)+
32
＞0的解集为{a|-3＜a＜2}，求f（4）的值．

对于定义域为G的函数f（x），如果同时满足下列两个条件：①f（x）在G内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦为[a，b]，那么就称f（x）为好函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=数学公式+1在（0，+∞）上是否为好函数？并说明理由；
（Ⅱ）求好函数f（x）=-x3+1符合条件的一个区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数f（x）=m+数学公式是好函数，求实数m的取值范围．
已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．

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